Algunas aplicaciones:
1. Decaimiento radiactivo
Se sabe que la vida media (el tiempo que tarda una cantidad
de una sustancia radiactiva
en reducirse a la mitad) del isotopo 14C del carbono es de
5750 años. Calcular el valor de
la constante de desintegración k asociada.
La ecuación que rige ese proceso de descomposición es x
0
(t) = −kx(t), k > 0
Cuya solución es x(t) = Ce−kt. En ella aparece la constante
de desintegración k inherente al
problema y la constante C que proviene de la integración de
la ecuación de primer orden.
Esta constante de integración tiene el siguiente
significado: si en el instante inicial t = 0
hay una cantidad x0 de sustancia tendrá que cumplirse que:
x0 = x (0) = Ce−k·0 = C
así pues, C es la cantidad inicial de sustancia x0. Podemos
escribir la solución de la ecuación de decaimiento radiactivo en la forma x(t)
= x0e −kt. Para calcular la constante k para el 14C basta tener en cuenta el
dato de que su vida media es 5750 años, es decir, x0 2 = x0e −5750k −→ e 5750k
= 2 −→ k = ln 2 5750 ≈ 1, 2 · 10−4. Conocida esta constante k, si se quiere
averiguar la edad de un objeto arqueológico que contiene, por ejemplo, el 65,
6% de su 14C inicial tenemos que 0, 656x0 = x0e −1,2·10−4 t −→ t = ln (0, 656)
−1, 2 · 10−4 ≈ 3497 años.
2. Crecimiento poblacional
En la naturaleza cuando una población de individuos es
pequeña y tiene comida y espacio suficiente, la velocidad de crecimiento de la
población es proporcional a su tamaño. Pero al ir creciendo la población sus
componentes compiten por el espacio y por la comida. Hay estudios que indican
que el crecimiento de la población debe ser corregido por un factor
proporcional al cuadrado de la población. Esto conduce a un modelo básico en
ecología, la ecuación logística de Verhulst para el crecimiento de poblaciones:
dx dt = kx (a − x) donde x = x(t) es la población en un tiempo t y k (constante
de crecimiento) y a son constantes positivas. La población inicial es x0 = x
(0), y suponemos x0 < a. Podemos resolver la ecuación por separación de
variables y utilizar la descomposición en fracciones simples dx x (a − x) = kdt
−→ Z dx x (a − x) = Z kdt −→ Z 1/a x +
1/a a − x dx = Z kdt de donde ln x a − x
= kat + C. Y aplicando exponenciales x a
− x = Aekat. Si hacemos t = 0 obtenemos el valor de la constante de integración
A A = x0 a − x0 y llevando este valor a la expresión anterior y despejando x(t)
se llega finalmente a x(t) = ax0 x0 + (a − x0) e−kat. Vemos a partir de esta
solución que x(t) es una función estrictamente creciente para t ≥ 0 y lim t→+∞
x(t) = a.
Consecuentemente, a representa la población máxima, nunca
alcanzada.
Problemas:
1 .- Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar, hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
En segundo lugar, se calcula la integral:
2.- Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
3.- Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
4.- Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
REALIZADO POR: CABELLO Octavio, IZARRARAZ Fernanda, ARROLLO Alonso, RODRÍGUEZ Jazmín.
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