APLICACIONES DE DIFERENCIALES EN APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES EN DISTINTAS SITUACIONES RELACIONADAS A PROBLEMAS DE FÍSICA, MATEMÁTICAS, GEOGRAFÍA Y QUÍMICA
Aproximaciones y estimaciones en física:
Es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximación es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a cómo dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.
El concepto de error o aproximaciones es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene
“Las medidas de las diferentes magnitudes físicas que intervienen en una experiencia dada, ya se hayan obtenido de forma directa o a través de su relación mediante una fórmula con otras magnitudes directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisión limitada que todo instrumento de medida posee, así como de otros factores externos, se debe aceptar el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de una magnitud, siempre habrá un error. por muy mínimo que sea. Por lo tanto, cualquier resultado numérico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompañado de un número que indique cuanto puede alejarse dicho resultado al valor exacto. Esto es un margen o rango de error.”
Ejemplo 1. Consumo anual de gasolina
Se trata de hallar un orden de magnitud de este consumo, no de un valor exacto, por tanto, nos basta con hacer estimaciones gruesas.
Primero estimamos el número de vehículos que hay en España. La gasolina es consumida principalmente por automóviles y no por camiones. Si en España hay unos 47 millones de personas y calculamos un coche cada cuatro habitantes, nos salen 10 millones de vehículos. La distancia recorrida por cada uno puede variar mucho, pero en promedio estará en unos 10000km/año (igual son 20000 en vez de 10000, pero eso no afecta al orden de magnitud).
En cuanto al consumo de cada uno, en promedio está en unos 10L/100km (según la publicad, algunos gastan 5L/100km, pero eso, parate de ser un mínimo, no afecta al orden de magnitud). Por tanto, tenemos para el consumo.
Consultando datos oficiales vemos que de agosto 2012 a agosto 2013, el consumo de gasolina en
España ha sido de 4682 kilotoneladas, lo cual en litros equivale a
Vemos que nuestra
aproximación gruesa da el orden de magnitud correcto para el resultado.
Ejemplo 2 ~ Latidos del corazón
La estimación es sencilla: multiplicamos lo que dura una
vida en minutos por el número de latidos por minuto.
La esperanza de vida en España ronda los 80 años (un poco
más para mujeres y un poco menos para hombres), así que podemos aproximar el
número de minutos en una vida por
esto es, 42 millones de minutos.
Multiplicando por un ritmo cardíaco de unos 70 latidos por
minuto nos queda
Tres mil millones de latidos como promedio para una vida de
80 años.
Evidentemente hay variaciones debido a las diferencias en
longevidad, en las variaciones del ritmo cardiaco a lo largo de la vida, etc.
pero una estimación de entre dos y tres mil millones de latidos es bastante
razonable.
Aproximaciones y estimaciones
en matemáticas:
La estimación matemática se refiere al juicio de valor del
resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad, en función
de circunstancias o precepciones individuales del que lo emite
Existen 2 tipos de estimación:
De cálculos: Se referiere a los resultados que pueden
obtenerse en un cálculo en el que intervienen las operaciones aritméticas
De medidas: Se refiere a los juicios que pueden
establecerse sobre el valor de una determinada cantidad o bien sobre la
valoración que nos merece el resultado de una medición
Consiste en acercar el número dado al número más proximo
según sus cifras decimales. Exsisten dos maneras de aproximar un número:
TRUNCAMIENTO: consiste en cortar el número de acuerdo a la cantidad
de cifras que queremos tener después de la coma (decimas, centecimas,
milesimas).
REDONDEO: consiste en acercar el número dado de acuerdo a sus
cifras decimales (decimas, centecimas, milesimas).
Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de
longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.
Solución: Con
el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas
y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la
diferencia de áreas D A y la compararemos con dA.
Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15,
después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la
figura.
En este caso la función es A(L) = L2 y por lo
tanto D A en L = 15 y h = 0.04 es:
A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016
Si ahora calculamos el diferencial de área para A(L) =
L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos:
dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15)(0.004) = (30)(0.004) =
1.2
En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el
área aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es
1.2016)
Generalmente este tipo de variaciones se miden en
porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225
= (15)2, decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el área
se incrementará aproximadamente en un 0.5333%.
Observación: Si el
problema es de una placa metálica del mismo tamaño que se enfría 0.04 cm,
entonces h = -0.04 y el diferencial resultaría el mismo sólo que con signo
contrario, es decir dA = -1.2. Como estamos usando la recta tangente para
estimar la diferencia, la linealidad hace que el cateto opuesto en ambos
triángulos de la figura, sean iguales.
Resolvamos ahora el mismo problema con otros
datos expresados porcentualmente
En el ejemplo anterior tendríamos los siguiente
datos:
a) 
b) xo = 16
c) x = 16.3
d) dx = 0.3
Con estos datos, df = (
|x=16) (0.3) = 0.0375, y
por lo tanto:
|x=16) (0.3) = 0.0375, y
por lo tanto:
+ 0.0375 = 4.0375.
Gráficamente lo que estamos haciendo es evaluar
a 16.3 en la recta tangente, como se aprecia en la gráfica anterior que aquí
presentamos amplificada.
Ejemplo 3. Utilizando
diferenciales, encuentre un valor aproximado para sen31.5º
Solución:
Sen31.5º sen30º
+ df
Donde
a) f(x) = senx
b) xo = p /6 medida
en radianes de 31º
c) x = p /6 + 1.5(p /180)
medida en radianes
de 31.5º
d) dx = 1.5(p /180)
medida
en radianes de 1.5º
f '(x) = cosx, por lo que f '(p /6) = cos(p /6) = 0.86660254
y por lo tanto df = (0.8660254)(1.5)(p /180) = (0.8660254)(0.026179) =
0.02267
Así pues sen(31.5º) ~ 0.5
+ 0.02267 = 0.52267
Sen(31.5º) 0.52267.
Aproximaciones y estimaciones
en Química:
Una reacción química consiste en la transformación de uno de los componentes a algún otro componente.
La velocidad a la que se lleva a cabo todo el proceso se denomina tasa de reacción química, la cual es directamente proporcional al cuadrado de la cantidad total del compuesto que se transforma.
Considere una reacción en la que tenemos 50 gramos de una sustancia en el tiempo t = 0, que se convierte a otro componente y solo nos resta 10 gramos del componente en el tiempo t = 1.
Denotemos la sustancia con y.
Entonces sea la velocidad de reacción.
La cual puede ser convertida a
donde k es un valor constante.Ahora bien, una expresión más general puede ser,
Vamos a sustituir ahora los valores
dados en el problema de la ecuación. Tenemos
.El valor de c se mantiene como −1/50, porque en el tiempo t = 0 la
cantidad de sustancia era 50 gramos.
.El valor de c se mantiene como −1/50, porque en el tiempo t = 0 la
cantidad de sustancia era 50 gramos.
Esto produce y = −0.12
Aproximaciones y estimaciones
en la geografía:
El Censo es un cálculo muy importante iniciado por los gobiernos de
algunos países. Haciendo el uso de la ecuación diferencial ha logrado que el
cálculo completo sea mucho más fácil que antes.
Existen muchas más aplicaciones donde el uso de la ecuación diferencial
hace el proceso de cálculo más conveniente.
Algunas de las aplicaciones notables que implican el uso de aplicaciones
diferenciales son la conciencia publicitaria, los cálculos de una mezcla de
compuestos químicos, el cálculo de selección de híbridos..
En casi todas estas aplicaciones no hay una expresión determinada de
antemano por lo que podemos calcular la derivada convenientemente.
En cambio la mayoría de las aplicaciones envuelven la formación de la
expresión, que es una función de determinados valores paramétricos.
Por: Cerón Alosno, Cabello Octavio.
Muy bien
ResponderBorrar