Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual se fuga el agua de un tanque, quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la razón a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En casa caso, el problema es hallar una función; una función de distancia conociendo la velocidad; una función de cantidad conociendo la razón de la fuga, una función de cantidad de pobladores sabiendo la razón a la que crece la población.
Para cada función se debe obtener primero la derivada y luego hacer el proceso de forma inversa.
1.Investigar cuál es el método para resolver cada uno de los casos
2.Investigar cómo se obtiene una función cuya derivada sea una función conocida.
3.Cuáles son las aplicaciones de la antiderivada, en física, química, ciencias sociales, biología, geografía, entre otras.
Respuesta para el físico:
Principalmente, para determinar la velocidad necesitamos la utilización de la derivada. Ahora, éste problema está de forma inversa, ya que tenemos la velocidad, ahora falta obtener la posición. Hay que invertirlo:
Dada la derivada (velocidad) podremos encontrar la función de la posición:
Método: La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
v= x1-x/t1-t =incremento de x/ incremento de t.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo dt tiende a cero, que no es otra cosa que la definición de la derivada de v.
Respuesta para el ingeniero:
Método:
m ≡cantidad de agua que entra en p3
Respuesta para el biólogo:
Método:
f x = y 0 × a x b
El periodo de tiempo entre las dos observaciones es de 1 minuto. queremos encontrar el factor de crecimiento en el periodo de tiempo. es decir, queremos encontrar a con los datos de la tabla:
a× 800 = 1280 a = 1.6
Lo que nos indica que hubo un factor de crecimiento del 1.6 después de 1 minuto. reemplazando estos valores en la fórmula tenemos:
f x = y 0 × 1.6 x
Sabemos que f(1)=800. reemplazando en la fórmula para hallar y0:
f 1 = y 0 × 1.6 1 800 = y 0 × 1.6 y 0 = 800 1.6 y 0 = 500
Finalmente la fórmula para el crecimiento de las bacterias es:
f x = 500 × 1.6 x.
FUNCIÓN CUYA DERIVADA SEA UNA FUNCIÓN CONOCIDA
∫ 2x dx= x² +c, donde c es la constante de integración, un número cualquiera, 1, 2 , 3.04...
Si derivas x² +c obtienes 2x+0=2x
APLICACIONES PARA LA ANTIDERIVADA EN FÍSICA, QUÍMICA, CIENCIAS SOCIALES, GEOGRAFÍA Y PARA OTRAS
Física:
Velocidad media
Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un móvil entre dos instantes t0 y t1 = t0 + h (h = t1 - t0) se recurre a la velocidad media:
Indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t0 + h .
En general, esta velocidad media representa la tasa de variación media (TVM) de la función s(t) en un intervalo cualquiera.
Velocidad instantánea
Para encontrar la velocidad de un móvil en un momento determinado t = t0 hallamos la velocidad instantánea:
En general, v(t) = s'(t) es la velocidad instantánea para cualquier instante:
Aceleración
Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado t = t0 :
En general, s''(t) = v'(t) es la aceleración para cualquier instante:
Química:
En cinética, química se aplican las derivadas para expresar la variación en la concentración de alguna sustancia en función del tiempo (velocidad de reacción).
en fisicoquímica, variaciones de funciones como capacidad calorífica con la temperatura, etc, etc.
en procesos unitarios hay muchas aplicaciones de derivadas como en el intercambio de calor, de masa y de cantidad de movimiento, y más complicado, se pueden aplicar en coordenadas rectangulares (x, y, z) o en coordenadas cilíndricas y hasta esféricas.
Ciencias Sociales:
. Aplicar sus conocimientos
matemáticos a situaciones diversas que puedan presentarse en fenómenos y
procesos propios de las Ciencias Sociales.
2. Utilizar y contrastar diversas
estrategias para el planteamiento y la resolución de problemas.
3. Adaptar los conocimientos
matemáticos adquiridos a la situación problemática planteada con el fin de
encontrar la solución buscada, discutirla, y valorar la posibilidad de utilizar
otros planteamientos.
4. Adquirir actitudes propias de
la actividad matemática como la visión crítica, la necesidad de verificación,
la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de
contrastar apreciaciones intuitivas.
5. Utilizar el discurso racional
para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir
cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los
argumentos y detectar incorrecciones lógicas.
6. Adquirir y manejar, valorando
su utilidad y belleza, un vocabulario específico de notaciones y términos
matemáticos que permita expresarse correctamente de forma oral, escrita y
gráfica en situaciones susceptibles de ser tratadas en lenguaje matemático.
7. Establecer relaciones entre
las matemáticas y el medio social, cultural y económico y reconocer su valor
como parte de nuestra cultura.
8. Utilizar de forma racional los
medios tecnológicos disponibles y descubrir las posibilidades que ofrecen.
9. Aprovechar los cauces de
información facilitados por las tecnologías de la información y la
comunicación, y seleccionar aquello que pueda ser más útil para resolver los
problemas planteados.
10. Desarrollar métodos que
contribuyan a adquirir hábitos de trabajo, curiosidad, creatividad, interés y
confianza en sí mismos, para investigar y resolver situaciones problemáticas
nuevas y desconocidas.
11. Desarrollar el gusto por la
belleza presente en teorías, demostraciones, formas y figuras matemáticas, y
apreciar la relación entre las matemáticas y las artes.
Matemáticas Aplicadas a la
Ciencias Sociales I
Contenidos
I. Aritmética y Álgebra
Números racionales e
irracionales. Los números p y e. La recta real, ordenación y operaciones.
Intervalos. Valor absoluto.
Potencias de exponente racional y
radicales. Operaciones.
Logaritmos decimales y
neperianos. Operaciones.
Resolución algebraica de
ecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita.
Polinomios. Operaciones
elementales. Regla de Ruffini. Factorización de polinomios. Iniciación a las
fracciones algebraicas.
Estudio y resolución gráfica y
algebraica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas con
tres incógnitas: método de Gauss.
Inecuaciones lineales con una o
dos incógnitas. Interpretación y resolución gráfica. Sistemas de inecuaciones.
Sucesiones de números reales.
Progresiones. Matemática financiera.
II. Funciones y gráficas
Funciones reales de variable
real. Tablas y gráficas. Expresión analítica. Aplicación a la interpretación de
fenómenos sociales.
Estudio gráfico y analítico de
las funciones polinómicas de primer y segundo grado y de las funciones de
proporcionalidad inversa.
Determinación de valores de una
función expresada analítica o gráficamente. Determinación de valores de una
función expresada por una tabla: interpolación lineal y cuadrática. Problemas
de aplicación.
Las funciones exponencial y
logarítmica: identificación e interpretación. Estudio de funciones periódicas
sencillas con la ayuda de calculadora y/o programas informáticos. Aplicación en
la resolución de problemas relacionados con las Ciencias Sociales.
Conceptos intuitivos de límite y
continuidad. Técnicas elementales de cálculo de límites. Aplicación al estudio
de discontinuidades y asíntotas.
Tasa de variación media y tasa de
variación instantánea. Derivada de una función en un punto y función derivada.
Reglas de derivación. Aplicaciones geométricas: intervalos de crecimiento y
puntos de tangente horizontal de funciones polinómicas o racionales.
Representación gráfica de
funciones polinómicas y racionales sencillas.
III. Estadística y Probabilidad
Estadística descriptiva
bidimensional. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias de doble
entrada. Representación gráfica: nube de puntos. Variables marginales.
Medias y desviaciones típicas
marginales. Covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Rectas de regresión
lineal. Relaciones entre dos variables estadísticas. Predicciones estadísticas.
Variables aleatorias discretas.
Distribución de probabilidad. Media y varianza. Distribución binomial. Uso de
tablas. Cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos.
Variables aleatorias continuas.
Función de distribución. Distribución normal típica (descripción gráfica). Uso
de tablas. Tipificación de una variable normal. Cálculo de probabilidades de
sucesos simples y compuestos.
Criterios de evaluación
1. Utilizar los números
racionales e irracionales, sus notaciones, operaciones y procedimientos
asociados, para presentar e intercambiar información y resolver problemas y
situaciones extraídos de la realidad social y la vida cotidiana.
2. Transcribir problemas reales a
un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas apropiadas en cada caso para resolverlos
y dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas.
3. Operar correctamente con
potencias, radicales, logaritmos decimales y logaritmos neperianos.
4. Resolver sistemas de
ecuaciones e inecuaciones lineales, y factorizar polinomios.
5. Resolver problemas de interés
simple y compuesto (cálculo de intereses, TAE, amortización,…).
6. Reconocer las familias de
funciones más frecuentes en los fenómenos económicos y sociales, relacionar sus
gráficas con fenómenos que se ajusten a ellas e interpretar, cuantitativa y
cualitativamente, las situaciones presentadas mediante relaciones funcionales
expresadas en forma de tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas.
7. Utilizar las tablas y gráficas
como instrumento para el estudio de situaciones empíricas relacionadas con
fenómenos sociales y analizar funciones que no se ajusten a ninguna fórmula
algebraica y que propicien la utilización de métodos numéricos para la
obtención de valores no conocidos.
8. Utilizar el lenguaje de
funciones para elaborar e interpretar informes sobre situaciones reales,
susceptibles de ser presentadas en forma de gráficas o a través de expresiones
polinómicas o racionales sencillas, que exijan tener en cuenta continuidad,
intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y tendencias de
evolución de una situación.
9. Elaborar tablas y representar
mediante una nube de puntos una distribución bidimensional, interpretar el
grado de correlación existente entre las variables y obtener las rectas de
regresión para realizar predicciones estadísticas en un contexto de resolución
de problemas relacionados con fenómenos económicos y sociales.
10. Estudiar situaciones reales
en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatoria discreta
para tomar decisiones, y utilizar las propiedades de una distribución binomial,
cuando sea posible asociarla al fenómeno aleatorio objeto de estudio, para el
cálculo de probabilidades.
11. Estudiar situaciones reales
en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatoria continua
para tomar decisiones, y utilizar las propiedades de una distribución normal,
cuando sea posible asociarla al fenómeno aleatorio objeto de estudio, para el
cálculo de probabilidades.
Geografía:
La geografía es una ciencia que, al hacer uso de las matemáticas, en este caso del cálculo diferencial e integral, se prolonga y enaltece desde el punto de vista epistemológico, por lo que entonces su relación se hace necesaria. Esta necesidad es la que nos conduce a trabajar estas dos ciencias.
Ambas ciencias, geografía y matemáticas, son campo científico suficiente por si mismo para trabajar, estudiar y analizar la realidad, que es de donde proviene la verdad científica. Cualquier problema, de cualquier naturaleza
Por: Izarraraz Fernanda, García Jazín y Arroyo Alonso.
Quedamos que la derivada y la antiderivada son procesos contrarios no son lo mismo, dan ejemplos de aplicación de la derivada no de la antiderivada.
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