El Cosmos del Cálculo

lunes, 3 de julio de 2017

Reflexión

POR: CABELLO OCTAVIO

miércoles, 21 de junio de 2017

5) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

1.- Calcular el área de la superficie que se genera al girar al eje "x", la gráfica de la función cuyo valor en x está dado por f(x)=

en el eje x entre x=0 y x=4

SOLUCIÓN:

REALIZADO POR: IZARRARAZ Fernanda

2.- Calcular el área de la superficie que se genera al girar en torno al ene “x”, la gráfica de la función cuyo valor en x está dado por f(x)= 3x – 1 en el eje x entre x= 1 y x= 3

SOLUCIÓN:

S= 2π ∫₁³3x-1 √ (3)² + 1dx

S= 2π ∫₁³3x-1 √9 + 1dx

S= 2π ∫₁³3x-1 √10 dx

S= 2π ∫₁³(3x-1) (3.16) dx

S= 2π ∫₁³[(3(3)-1) (3.16)] [(3(1)-1) (3.16)] dx

S= 2π ∫₁³[(9-1) (3.16)] [(3-1) (3.16)] dx

S= 2π ∫₁³[(8) (3.16)] [(2) (3.16)] dx

S= 2π ∫₁³[25.8] [6.32] dx

S= 163.056

REALIZADO POR: CABELLO Octavio

4.- El gerente de un parque de diversiones estima que el primer mes de operación el número de admisiones diarias aumenta de tal manera que f(x) admisiones al día se logren en t días desde su inauguración donde f(x)= 9800 + 40t, ¿qué día se estima que concurra el visitante 100000? ¿Cuántas admisiones se esperan durante los primeros cinco días? y ¿Cuántas admisiones se esperan en el quinto día?

Solución:

POR: ARROLLO Alonso

2) INVESTIGA OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Investigar otras aplicaciones de la integral definida y plantear 2 problemas donde para su solución se aplique el área bajo la curva, la la solución e interpretación de la respuesta.

Algunas aplicaciones:

1. Decaimiento radiactivo

Se sabe que la vida media (el tiempo que tarda una cantidad de una sustancia radiactiva

en reducirse a la mitad) del isotopo 14C del carbono es de 5750 años. Calcular el valor de

la constante de desintegración k asociada.

La ecuación que rige ese proceso de descomposición es x

(t) = −kx(t), k > 0

Cuya solución es x(t) = Ce−kt. En ella aparece la constante de desintegración k inherente al

problema y la constante C que proviene de la integración de la ecuación de primer orden.

Esta constante de integración tiene el siguiente significado: si en el instante inicial t = 0

hay una cantidad x0 de sustancia tendrá que cumplirse que:

x0 = x (0) = Ce−k·0 = C

así pues, C es la cantidad inicial de sustancia x0. Podemos escribir la solución de la ecuación de decaimiento radiactivo en la forma x(t) = x0e −kt. Para calcular la constante k para el 14C basta tener en cuenta el dato de que su vida media es 5750 años, es decir, x0 2 = x0e −5750k −→ e 5750k = 2 −→ k = ln 2 5750 ≈ 1, 2 · 10−4. Conocida esta constante k, si se quiere averiguar la edad de un objeto arqueológico que contiene, por ejemplo, el 65, 6% de su 14C inicial tenemos que 0, 656x0 = x0e −1,2·10−4 t −→ t = ln (0, 656) −1, 2 · 10−4 ≈ 3497 años.

2. Crecimiento poblacional

En la naturaleza cuando una población de individuos es pequeña y tiene comida y espacio suficiente, la velocidad de crecimiento de la población es proporcional a su tamaño. Pero al ir creciendo la población sus componentes compiten por el espacio y por la comida. Hay estudios que indican que el crecimiento de la población debe ser corregido por un factor proporcional al cuadrado de la población. Esto conduce a un modelo básico en ecología, la ecuación logística de Verhulst para el crecimiento de poblaciones: dx dt = kx (a − x) donde x = x(t) es la población en un tiempo t y k (constante de crecimiento) y a son constantes positivas. La población inicial es x0 = x (0), y suponemos x0 < a. Podemos resolver la ecuación por separación de variables y utilizar la descomposición en fracciones simples dx x (a − x) = kdt −→ Z dx x (a − x) = Z kdt −→ Z 1/a x + 1/a a − x dx = Z kdt de donde ln x a − x

= kat + C. Y aplicando exponenciales x a − x = Aekat. Si hacemos t = 0 obtenemos el valor de la constante de integración A A = x0 a − x0 y llevando este valor a la expresión anterior y despejando x(t) se llega finalmente a x(t) = ax0 x0 + (a − x0) e−kat. Vemos a partir de esta solución que x(t) es una función estrictamente creciente para t ≥ 0 y lim t→+∞ x(t) = a.

Consecuentemente, a representa la población máxima, nunca alcanzada.

Problemas:

1 .- Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar, hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

En segundo lugar, se calcula la integral:

2.- Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

3.- Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

4.- Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

REALIZADO POR: CABELLO Octavio, IZARRARAZ Fernanda, ARROLLO Alonso, RODRÍGUEZ Jazmín.

4) ACTIVIDAD DETONANTE IV

EN EL LUGAR DONDE VIVES SEGURAMENTE EXISTEN CONSTRUCCIONES DE DICERSOS TIPOS U OBJETOS CON FORMAS COMPLEJAS, COMO; LA PUERTA CAPITAL, EMIRATO DE ABU DHABI, CAPITAL Y SEGUNDA CIUDAD MAS POBLADA DE LOS EMIRATOS ARABES UNIDOS.

Resultado de imagen para la puerta capital

Este es uno el edificios más largos de la ciudad, y fue proclamada por el libro de record guinness como “la torre inclinada del mundo hecha por el hombre”. La torre se inclina a 18 grados, 4 veces más que la torre de pisa.

¿Cómo se puede obtener el volumen?

DE ZACU4ERDO CON LAS FORMULAS QUE SE OBTIENEN ARRIBA SE ENCUENTRA LA TORRE EN CONSTANTE RELACION APLICANDO EL METODO DE DISCO, A SI COMO EL METODO DE CILINDRO

METODO DE LOS DISCOS:

Este método consiste en tomar una sección transversal de la figura, que al momento de hacerla girar alrededor de algún eje nos genere una forma la cual calcularemos su volumen con la siguiente ecuación:

V = π f(x) dx

En donde el volumen es igual a la integral de la función f(x) al cuadrado por dx.

METODO DE ANILLOS:

Este metodo lo usamos cuando tenemos 2 funciones a graficar y estan nos forman un solido hueco, al rotarlo sacamos un disco que tiene forma de anillo:

PARA HALLAR EL VOLUMEN DE ESTE ANILLO USAMOS :

donde h es la altura, R es el radio externo o mayor, y r es el radio interno menor.

con esto usamos la integral para hallar el volumen:

METODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS:

Este metodo lo usamos para hallar volumenes de solidos cuando tenemos una funcion que al rotarla nos produce un solido hueco pero al querer usar el metodo de anillos solo contamos con solo radio y al sacar un anillo obtenemos un cilindro:

REALIZADO POR: ROGRÍGUEZ Jazmín, IZARRARAZ Fernanda, CABELLO Octavio, ARROLLO Alonso.

3) INVESTIGACIÓN: IMPORTANCIA DE LAS DIFERENTES FUNCIONES QUE TIENE EL CALCULO INTEGRAL

Realizar una investigación que destaque la importancia de las diferentes funciones que tiene el cálculo integral como una herramienta aplicable en una situación determinada.

También es muy importante en distintas áreas como:

FISICA: hace un particular uso del calculo; todos los conceptos n la mecánica clásica están interrelacionados a través del calculo. la masa de un objeto de conocida densidad,el momento de inercia de los objetos, así como de la energía total de un objeto dentro de un campo conservativo pueden ser encontrados por el uso del calculo.

ESTADISTICA: para calculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad de probabilidad. estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasa de interés, etc,

CIENCIAS EXACTAS: en temas como la velocidad de una partícula en un momento determinado, la pendiente de la recta tangente a un gráfica en un punto dado a esta.

INGENIERIA: se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de automóvil, etc...

REALIZADO POR: IZARRARAZ Fernanda, ARROLLO Alonso, CABELLO Octavio.